Poleas

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INECUACIONES

EJERCICIOS SOBRE INECUACIONES

.Lineales

.Cuadráticas

.Racionales

1.    Resolver las siguientes inecuaciones

1.  x² − 6x + 8 > 0

2. x² + 2x +1 ≥ 0

3. x² + x +1 > 0

4. 7x² + 21x − 28 < 0

5.  −x² + 4x − 7 < 0

6.   4x² – 16 ≥ 0

74x² − 4x + 1 ≤ 0

8.   X⁴ + 12x³ – 64x² > 0

9.  x⁴ − 25x² − 144 < 0

10. x⁴ − 16x² − 225 ≥ 0

     11.  (x + 1)(10 + x)  ≤ 6 (2x + 1)

     12.   4 (x -10) < -6(2 – x) – 6x

     13. 7x² + 21x − 28 < 0

     14. −x² + 4x − 7 < 0

           15. x⁴ − 25x² + 144 < 0

           16. x⁴ − 16x² − 225 ≥ 0  

           17. X – 2 / x – 4 ≥ 0

                18.  X² + 4 / x² – 4 ≥ 0

           19. x² – 1 / -x²   –  2x – 1 ≤ 0

                20.  X² – 1 / x² – 4 ≤ 0

                21.   X + 3 / x – 2 < 2

Caída libre y movimientos verticales

Fórmulas a tener en cuenta:
CAÍDA LIBRE                                                  
Vf= Vo +gt
Vf2= Vo2 +2gh
h= Vo t + g t2 /2                                             


MOVIMIENTOS VERTICALES
 t= Vf - Vo / g

h= Vf2 - Vo2 / -2g

 Vf= Vo -gt     

-Cuando un objeto se deja caer la velocidad inicial es cero   

-Cuando un objeto se lanza la velocidad inicial es diferente de cero

-Cuando un objeto alcanza su máxima altura, la velocidad allí es cero

-Cuando un objeto empieza  a subir la velocidad es positiva

-Cuando un objeto empieza a bajar la velocidad es negativa

                                                                                                                

 

Movimientos verticales

Fórmulas para tener en  cuenta para solucionar situaciones problema de caída libre y movimientos verticales:
 t= Vf - Vo / g
h= Vf2 - Vo2 / -2g
Vf= Vo -gt
h= Vo * t - 1/2 at2

Física: Caida libre - Movimientos verticales

Ejercicios de Física

Movimientos Verticales

Observaciones: En todos los problemas se toma el valor de la aceleración debido a la gravedad como de 9,8 m/seg².

Fórmulas:

g = Vf – Vi / t

X = Vo + gt

1.   Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 60m/seg. Hallar que velocidad lleva a los 10seg.

2. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 50m/seg. Hallar el espacio recorrido a los 2 segundos.

3. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg; hallar la distancia recorrida a los 10seg.

4. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 70m/seg; hallar  a qué altura se encuentra del suelo a los 12seg.

    5. Desde un talud de 100m de altura se lanza verticalmente y hacia arriba un objetocon unavelocidad de 40m/seg. Hallar cuánto tarda en llegar al suelo desde el momento del
lanzamiento.

6. Se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una velocidad de 50m/seg. Hallar el tiempo que transcurre desde el lanzamiento hasta caer sobre un edificio de 30m de altura.

 7. Se dispara verticalmente hacia arriba un objeto y a los 2seg va subiendo con una velocidad de 80m/seg. Hallar la altura máxima alcanzada y la velocidad que lleva a los 15seg.

8. Se dispara verticalmente hacia arriba un objeto de forma que a los 2 segundos lleva una velocidad de 60m/seg. Hallar:
a) la velocidad con la cual se disparó el objeto,
b) a qué altura se encuentra a los 2 segundos.
c) cuánto tiempo ha de transcurrir para que llegue a la parte superior de la trayectoria.

9. Desde el suelo se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg.
Se desea saber qué velocidad lleva cuándo ha recorrido 300m.

10. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil que tarda 10 segundos en llegar al punto de
partida.

Hallar:

a)la altura máxima alcanzada.    

b)qué velocidad lleva a los 3seg.

        

11. Se dispara desde el suelo un móvil con velocidad de 60m/seg.

a)¿Diga usted a qué altura se encuentra a los diez segundos?,
b)¿Qué velocidad lleva a los diez segundos?,
c)¿qué distancia ha recorrido en ése tiempo?

12. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil cuyo tiempo total de vuelo es igual  a 20seg. Hallar:
a)¿Qué velocidad lleva a los 3/5 del tiempo total de vuelo?
b)¿A qué altura se encuentra del suelo a los 4/5 del tiempo total de vuelo?.

MOVIMENTO VERTICAL

Responder:

1) ¿Qué entiende por aceleración de la gravedad?
2) ¿La aceleración de la gravedad es un valor constante o variable?
3) ¿Qué velocidad posee un cuerpo cuando alcanza la altura máxima?

Resolver:

1) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/seg.
a) ¿Cuál será su velocidad luego de haber descendido 3 seg?
b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 seg?
c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14m?.
d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?
e) ¿Con qué velocidad lo hará?
2) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 m/seg, luego de 4 seg

de efectuado el lanzamiento su velocidad es de 60 m/seg.
a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?
b) ¿En qué tiempo recorre el móvil esa distancia?
c) ¿Cuánto tarda en volver al punto de partida desde que se lo lanzo?
d) ¿Cuánto tarda en alcanzar alturas de 300 m y 600 m?
3) Un observador situado a 40 m de altura ve pasar un cuerpo hacia arriba con una cierta velocidad y al

cabo de 10 seg lo ve pasar hacia abajo, con una velocidad igual en módulo pero de distinto sentido.
a) ¿Cuál fue la velocidad inicial del móvil?
b) ¿Cuál fue la altura máxima alcanzada?
4) Desde un 5° piso de un edificio se arroja una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de

90 km/h, ¿cuánto tardará en llegar a la altura máxima?

5) Un auto choca a 60 km/h contra una pared sólida, ¿desde qué altura habría que dejarlo caer para

producir el mismo efecto?
6) Se lanza una pelota hacia arriba y se recoge a los 2 seg, calcular:
a) ¿Con qué velocidad fue lanzada?
b) ¿Qué altura alcanzó?
7) Se lanza una pelota de tenis hacia abajo desde una torre con una velocidad de 5 m/seg.
a) ¿Qué velocidad tendrá la pelota al cabo de 7 seg?
b) ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?

Esp. Édgar A. Gutiérrez Zapata

FÍSICA

TRABAJO DE FÍSICA

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)

De acuerdo a la 1ª Ley de Newton toda partícula permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme cuando no hay una fuerza neta que actúe sobre el cuerpo. Esta es una situación ideal, ya que siempre existen fuerzas que tienden a alterar el movimiento de las partículas. El movimiento es inherente que va relacioneado y podemos decir que forma parte de la materia misma. Ya que en realidad no podemos afirmar que algún objeto se encuentre en reposo total. El MRU se caracteriza por: a)Movimiento que se realiza en una sóla direccion en el eje horizontal. b)Velocidad constante; implica magnitud y dirección inalterables. c)Las magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Este movimiento no presenta aceleración (aceleración=0). Relación Matemática del MRU: El concepto de velocidad es el cambio de posición (desplazamiento) con respecto al tiempo. Fórmula:                 v= d/t                      d=v*t                               t=d/v v=velocidad    d=distancia o desplazamiento                      t=tiempo MECÁNICA: Parte de la Física que estudia el movimiento, lo que lo produce y lo que lo modifica y afecta y se divide en: Ciniemática:Estudia el movimiento sin importar las causas. Dinámica:Estudia el movimiento así como sus causas. Dentro del movimiento existe un móvil (el que se mueve) y el camino que sigue éste (trayectoria). Distancia:Cantidad escalar. Que tanto recorre el móvil. Desplazamiento:Cantidad vectorial. Es la distancia con su dirección. Rapidez:Cantidad escalar y es la relación de la longitud con un intervalo de tiempo. Velocidad:Cantidad vectorial, relación del desplazamiento en un intervalo de tiempo. Velocidad y Rapidez Instantanea: Medición en el momento en un punto arbitrareo. Velocidad y Rapidez Media:Promedio entre la velocidad inicial y la velocidad final. (Vi y Vf) Vi+Vf/2. Velocidad y Rapidez Promedio:Distancia recorrida entre el tiempo transcurrido en recorrer dicha distancia.

Cinemática en una dimensión MRU Para estudiar cinemática es necesario tener algunos conocimientos del algebra vectorial, pero trataremos de omitir en esta primera parte aquello, y simplificaremos el estudio a una dimensión en este caso a movimientos en el eje x. Para estudiar el movimiento en el eje X el vector desplazamiento es: ∆x=xf - xi Ejemplo: En el dibujo  se observa que: Posición inicial del cuerpo es 4 cm en la dirección +x Posición final 8 cm en la dirección +x Distancia recorrida 4 cm Desplazamiento 4 m en la dirección +x Trayectoria rectilínea y de 4 cm Cuidados al resolver los problemas ●Identifica el tipo de movimiento. ●Identifica las variables fisica con sus respectivas unidades. ●Si el problema lo permite dibuja un diagrama o esquema que te permita entender de mejor manera. ●Trasforma todas las variables del problema a un mismo sistema de medida. ●Revisa tu ecuaciones y despeja la variable que necesitas calcular. ●Reemplaza en la ecuación las variables físicas con sus respectivas unidades. ●fijate si las variables pedidas son vectores o escalares y da tu respuesta.| SITUACIÓN PROBLEMA   1. Un corredor trota de un extremo a otro de la pista en línea recta 300m en 2.5 min., luego se voltea y trota 100m hacia el punto de partida en otro minuto.     a)¿Cuáles son la rapidez y velocidad promedio del trotador al ir del punto A al B    y del punto B al C?     b)¿Cuál es la rapidez y velocidad media del trotador para los mismos casos? Transforme las siguientes unidades: 50 Km/h =________m/s 78 cm/s=_________m/s 54 mm/min.________m/s 67 Km/s__________m/s 56 m/min_________m/s546 hrs._________s 2- Un automovil viajó desde Valparaíso a Quilpué y se obtuvieron los siguientes datos Distancia (Km)       Tiempo (horas)           0                               0           6                               2          12                              4          18                              6          24                              8       Obtenga: a)-Gráficamente la velocidad media b)-Distancia que llevará a los 12 segundos c)-Pendiente de la gráfica posición v/s tiempo. 3- Un gráfico que muestre la velocidad media. ¿A cuántos m/s equivale la velocidad de un móvil que se desplaza a 72 Km./h? 4- Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s durante 9 s, y luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas velocidades del mismo sentido: a)    ¿Cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 segundos? b)    ¿Cuál es la velocidad media del viaje completo? 5- Resolver el problema anterior, suponiendo que las velocidades son de distinto sentido. 6-Pasar de unidades las siguientes velocidades:      a) de 36 Km./h a m/s.      b) de 10 m/s a Km./h.      c) de 30 Km./min. a cm./s.      d) de 50 m/min a km/h 7- Un móvil recorre 98 Km. en 2 h, calcular:      a) Su velocidad.      b) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 h con la misma velocidad? 8-¿Cuál será la distancia recorrida por un móvil a razón de 90 Km./h, después de un día y medio de viaje?. 9- ¿Cuál de los siguientes móviles se mueve con mayor velocidad: el (a) que se desplaza a 120 Km./h o el (b) que lo hace a 45 m/s? 10- ¿Cuál es el tiempo empleado por un móvil que se desplaza a 75 Km./h para recorrer una distancia de 25.000 m? 11- ¿Qué tiempo empleará un móvil que viaja a 80 Km./h para recorrer una distancia de 640 Km? 12- Un automóvil mantiene una rapidez constante de 80 Km/h. ¿Qué distancia recorrerá en 2h 45 m Buenas  tardes estudiantes del V clei Deben resolver las situaciones presentadas. Por favor lean y cualquier inquietud, me la hacen llegar por este medio ( blog). Deben enviar la solución y explicar ¿cómo lo resolvieron? A la entrada lo sustentamos por medio escrito.  Estos enlaces les podrán ayudan, dar clic: http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_rectil%C3%ADneo_uniforme http://www.kalipedia.com/fisica-quimica/tema/movimientos/movimiento-rectilineo-uniforme-mru.html?x=20070924klpcnafyOq_167.Kes FELICES VACACIONES Esp. Édgar Gutiérrez Zapata

CONSTRUCCIÓN TEÓREMA DE PITAGÓRAS

CONSTRUCCION DEL TEOREMA DE PITAGORAS MEDIANTE EL EMPLEO DE LA CALCULADORA TI 92 PLUS Y UTLIZACIÓN DEL COMPUTADOR Y EL PROGRAMA CABRI II

INTRODUCCIÓN

Quería empezar comentando el motivo por el cual decido realizar esta didáctica alrededor del Teorema de Pitágoras. Es indudable el uso que dentro y fuera de las matemáticas se puede, y de hecho, se realiza del teorema de Pitágoras. Dentro de la geometría podemos decir que es el teorema más usado, tanto desde el punto de vista teórico, como del punto de vista práctico como herramienta para calcular ángulos, áreas, distancias, solución de triángulos, etcétera. También me gustaría señalar que dentro de la educación secundaria, la geometría tiene un papel muy importante, y por tanto el teorema de Pitágoras no es sólo conocido sino también usando ampliamente por los alumnos.

Para introducir esta temática didáctica, comentaré mi deseo de abordarla haciendo uso de un formato formal en el cual entra el comentario de los objetivos, contenido, metodología, materiales, uso de las nuevas tecnologías (TIC) y por último evaluación. Dentro del contenido expondré un comentario y biografía de Pitágoras y el pitagorismo, además de un pequeño repaso al cálculo de áreas, el enunciado del teorema de Pitágoras,  como también incluiré más de una demostración del mismo, algunas aplicaciones dentro y fuera de las matemáticas.

JUSTIFICACIÓN

 La demostración matemática continúa siendo un obstáculo para  estudiantes y profesores. No se consigue obtener rendimiento (o no tanto como el que se pretende) de una herramienta tan potente como la demostración. Con el uso de las nuevas tecnologías como el medio apropiado para introducir nuevos conceptos matemáticas (demostraciones como las construcción pitagórica). Los estudiantes llegan a comprender y  construir, además que identifican fácilmente definiciones, conocen historia, y muchos conceptos geométricos, llegando a concluir que se puede construir dicho teorema con cualquier polígono regular.  Además los estudiantes aprenden valores (solidaridad, tolerancia, ayuda mutua, respeto), pues permite el cambio de ideas, de material y aprenden a ver que la comunicación es fundamental en todo ambiente, etc.

También quiero comentar  que los trabajos acerca del teorema de Pitágoras son innumerables. No obstante,  la realización de esta temática, no queda clara en los alumnos; por estas razones dedico mi tiempo y esfuerzo en buscar nuevas metodologías  acerca de este tema, y quizás piense que esta es una buena oportunidad para que los estudiantes lo comprendan de manera fácil,  sencilla, y  que los puedan aplicar en la vida cotidiana, así como también el amor y agrado hacia las matemáticas y más aún hacia la geometría.

OBJETIVOS DIDÁCTICOS

1.- Conocer el Teorema de Pitágoras, tanto el enunciado como alguna demostración del mismo.

2.- Hacer que los alumnos sean capaces de reconocer aquellas aplicaciones que tiene el teorema de Pitágoras, y sepan aplicarlo correctamente dentro y fuera del aula.

3.- Fomentar en el alumnado un interés claro hacia la geometría y más concretamente hacia el teorema de Pitágoras con sus posibles aplicaciones.

4.- Fomentar en el estudiante el uso de las nuevas tecnologías (computador, calculadora) hacia el Teorema de Pitágoras.

REFLEXIÓN

Percibí completamente que los estudiantes aprendieron el concepto de ángulos, medida de ángulos, triángulos, medida de triángulos, perímetros, áreas. Además pudieron comprobar que el área de cualquier polígono regular construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los polígonos construidos sobre los catetos. Además se dieron cuenta que podían trabajar con cualquier polígono.

Todos los estudiantes estuvieron atentos desde el inicio hasta el final como producto del cambio de metodología de forma permanente (recortar, armar figuras, graficar y construcciones prácticas en las calculadoras y computadores).

Otro hecho significativo fue el trabajo en valores que se llevó a cabo en la clase (solidaridad, tolerancia, ayuda mutua, respeto), pues permitió el cambio de ideas, de material y aprendieron a ver que la comunicación es fundamental en todo ambiente.

También tuvieron la oportunidad de desarrollar su motricidad. Los estudiantes adquirieron habilidades y destrezas, desarrollaron su capacidad creativa y se percibe que las matemáticas trabajadas de esta manera se hacen más vivénciales y se aprecian más.

El 90% de grupo de 40 estudiantes del grado octavo aprendió el concepto (Teorema de Pitágoras, su historia) y además otros profesores se interesaron por la clase y preguntaron cómo construir las figuras y emitieron juicios como: ¡muy interesante su clase!, es importante la motivación dada y que los estudiantes puedan investigar sin que se les esté diciendo.

Realice la evolución por escrito y la mayoría de los estudiantes aprobaron con juicio valorativo Excelente y Sobresaliente.

Al hacer la autoevaluación los estudiantes coincidieron en que todas las clases se deberían trabajar de esta manera para no perder el interés y estar atento en  toda la actividad.

El uso de las Nuevas tecnologías ayudó de manera relevante para que la clase se desarrollara con éxito.

Mi experiencia como docente fue excelente.

DESCRIPCION DEL TRABAJO DIA A DIA

En el primer momento los estudiantes, conocen cada una de las aplicaciones que trae cada icono del programa. Luego los estudiantes aprenden a construir figuras planas como: triángulos, rectángulos, cuadrados, hexágonos, etc.

Los estudiantes construyen el triángulo equilátero, le cambian de color, hallan el área, perímetro, hallan la altura, cambian de grosor los lados, lo agrandan, es decir, juegan con la figura. Construyen también el triángulo rectángulo, conocen cada uno de los catetos, la hipotenusa. En la siguiente clase los estudiantes, construyen la macro, para poder montar sobre el triángulo rectángulo el triángulo equilátero. Es decir sobre cada uno de los catetos y sobre la hipotenusa. Hallan las áreas correspondientes. Los estudiantes demuestran que la suma de las áreas de los triángulos equiláteros construidos sobre los catetos es igual al área del área del triángulo equilátero construido sobre la hipotenusa. Hallando las respectivas áreas. Luego los estudiantes se dedican a construir otras figuras como el hexágono, y concluyen que pueden montar el teorema de Pitágoras con cualquier polígono.

Para La construcción del proyecto los estudiantes gastaron dos semanas (8 horas).